Макс 509 (chyyr) wrote,
Макс 509
chyyr

Categories:

Повторяю хорошо известное.

Фантасты очень любят сверхсветовые путешествия. Это понятно: не хочется же из каждой повести делать "Возвращение со звезд", а из каждого рассказа - "Ожерелье Семли". Главный герой должен возвращаться домой на радость престарелым родителям, а не на горе престарелым правнукам.
Некоторые авторы довольствуются сверхсветовой связью (Так, Ле Гуин, а за ней Кард, облагодетельствовали своих героев ансиблем... Ле Гуин первая ансибль придумала? Или был кто-то до нее?)

Естественно, что в мир, где верна частная (специальная) теория относительности (далее - СТО), и сверхсветовые путешествия и сверхсветовую связь встроить трудно.

А именно: в мире, где верна СТО, любое сверхсветовое путешествие (сверхсветовое общение) эквивалентно путешествию в прошлое (диалогу с прошлым)

Этот факт известен, но, как я обнаружил, не общеизвестен (т.е. во многих н/ф-литературных обсуждениях обнаруживаются люди, о нем не знавшие). Посему приведу здесь доказательство этой теоремы - про запас, чтобы в случае чего было на что ссылаться :)




Напоминание первое: преобразования Лоренца.

Пусть наш мир можно представить как пространство Минковского c лоренцовой метрикой


(Это означает, что мы живем в неискривленном четырехмерном пространственно-временном континууме, причем если нечто движется со скоростью 1 в одной инерциальной системе координат, то оно движется со скоростью 1 во всех инерциальных системах координат)

Переход от одной инерциальной системы координат к другой в этом случае описывается преобразованием Лоренца.

Для простоты предположим, что начало новой системы координат движется в направлении x со скоростью v=-cth θ, и в начальный момент времени начала координат совпадали. В этом случае


Прим1.В произвольном случае мы всегда можем развернуть старую систему координат так, чтобы новая двигалась вдоль оси иксов

Прим 2. cosh, sinh, cth - это гиперболические косинус, синус и котангенс соответственно. (Напомню, что всегда cosh x>sinh x>-cosh x, а, значит, модуль гиперболического котангенса не превосходит единицы)

Прим 3. В дальнейшем мы иногда будем "забывать" про координаты y и z и писать только x и t.


Напоминание второе: пространственноподобные и времениподобные интервалы

Пусть у нас есть две точки пространства-времени: (t,x,y,z) и (T,X,Y,Z), задающие некоторый интервал. Если величина
,
называемая квадратом интервала, положительна, интервал называется времениподобным.
Если величина отрицательна, интервал пространственно подобен.

Самое для нас важное, что квадрат интервала не меняется при преобразованиях Лоренца. В частности, если интервал времениподобен в одной инерционной системе координат, он будет времениподобен в любой другой.


Следующее важное наблюдение:

Утверждение.
Двигаясь со скоростью, меньшей скорости света, можно попасть из точки (t,x,y,z) в точку (T,X,Y,Z) в том и только том случае, когда интервал времениподобен, а T>t.


Доказательство простое:

(1<=2) Если интервал времениподобен, мы можем легко предложить такой маршрут полета, который приведет нас из первой точки во вторую. Для этого зафиксируем систему отсчета, и полетим в ней по прямой со скоростью l/(T-t), где l - расстояние между точками (x,y,z) и (X,Y,Z).

(1=>2) Если мы летим относительно фиксированной системы отсчета со скоростью, меньшей скорости света, пройденное нами расстояние будет меньше T-t>0. Легко проверить, что в этом случае квадрат интервала будет положителен.

Покажем, что если T было больше t в одной инерционной системе координат, то в любой другой ИСК мы будем иметь T'>t'. (Для простоты ограничимся случаем y=Y, z=Z).

В силу времениподобия интервала, |x-X|<|t-T|. Тогда по преобразованию Лоренца



Здесь мы воспользовлись тем, что гиперболический косинус всегда больше гиперболического синуса.


Двукратное перемещение вдоль пространственно подобного интервала

Перейдем к собственно фантастической части.

Случай 1.

Пусть мы умеем делать мощный ансибль, а именно, выключатель, позволяющий по замкнуть цепь на другом конце любого пространственноподобного интервала. Покажем, что в этом случае мы можем зажечь лампочку, свет от которой дойдет до нас прежде, чем мы нажмем выключатель.

Для этого установим два мощных ансибля: один будет располагаться на кривой (t,0,0,0) - т.е. покоиться в начале координат, - другой на кривой (t,1,0,0) - т.е. покоится в световой секунде от нас.
В точке (t, -0,5,0,0) установим лампочку, активируемую вторым ансиблем.

Настроим их так:

- если первый включить в момент времени t=0, он подаст сигнал в точку (0,1,0,0)
квадрат интервала равен -1
- если второй получает сигнал в момент времени t=0, он подает сигнал в точку (-0.6, -0.5 , 0 ,0).
квадрат интервала равен 0,36-2,25=-1,89
Вспыхнет лампочка, и свет от нее дойдет до нас за 0,1 секунды до нажатия выключателя.

Случай 2

Могут возникнуть возражения: второй ансибль - уже машина времени. Он же передает сигнал в "прошлое" относительно себя (строго говоря, это не так: прошлое отделено от настоящего времениподобным интервалом, а не пространственноподобным. Но допустим...)

Рассмотрим другой случай: мы делаем обычные ансибли. Они устоены так: если в некоторой инерционной системе координат ансибль занимает положение (t,0,0,0), то, активированный в момент T, он может замкнуть цепь в любой точке с координатами (T,X,0,0).

В этом случае расположим второй ансибль следующим образом:
он движется по кривой (t,-t cthθ,0,0) - очевидно, это движение равномерно и прямолинейно.


Активируем первый ансибль в момент t=1. Он активирует второй в точке (1,-cthθ,0,0).
В соответствии с преобразованием Лоренца, для второго ансибля это будет момент t'=1/cosh θ.

Второй ансибль активирует лампочку, находящуюся в точке (t',X',0,0) в системе отсчета (2), и, значит, в точке (1-X'sinh θ, -cth θ+ X'cosh θ,0,0) в системе отсчета (1).

Квадрат интервала между (1,0,0,0) и включением лампочки равен


Возьмем X'=1 и потребуем, чтобы sinh θ было больше 1 (это возможно, так как гиперболический синус растет экспоненциально). Тогда интервал является времениподобным, причем лежит в прошлом относительно (1,0,0,0) (т.к 1-X'<1). Это гарантирует нам, что свет от лампочки дойдет до нас раньше, чем мы нажмем кнопку.


Замечание Фактически, мы доказали, что из двух ансиблей можно собрать "машину времени" даже в том случае, когда их "радиус действия" ограничен (т.е. они передают сигнал в точку x=X, удаленную от начала координат не больше, чем на 1 св.секунду.)

Слегка изменив доказательство можно показать, что при сколь угодно малом "радусе действия" из двух ансиблей и лампочки можно собрать "машину времени" - надо только достаточно разогнать второй ансибль.




Задача
Докажите самостоятельно вторую половину теоремы: если у нас есть машина времени, му умеем перемещаться со скоростью выше скорости света ;)

Задача Пусть мы умеем делать слабые ансибли. Если их неподвижно поместить в инерционной системе координат, они, будучи активированными в точке (t,0,0,0), умеют замыкать цепь на другом конце (T,X,0,0) пространственноподобного интервала. При этом, T>t.
Проверьте, что и тогда мы можем из конечного числа ансиблей собрать "машину времени".


PS Претензии, поправки и замечания приветствуются
Tags: sci-fi
Subscribe

  • Стройные и полные XIX века

    Понадобились мне как-то примеры того, что в XIX веке слово "стройный" применительно к человеку не означало автоматически худобу, и что стройной могла…

  • Пока

    Вдруг стало интересно: а когда начали говорить на прощанье "пока"? Оказывается, около ста лет назад. В XIX веке, как можно судить по письмам и…

  • Отравоядное

    Beware of Germans bearing Gifts. (Английская народная мудрость) Немцы яд дают. Французы яд пьют. Славяне яд едят. Страшная вещь этимология. PS…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 10 comments

  • Стройные и полные XIX века

    Понадобились мне как-то примеры того, что в XIX веке слово "стройный" применительно к человеку не означало автоматически худобу, и что стройной могла…

  • Пока

    Вдруг стало интересно: а когда начали говорить на прощанье "пока"? Оказывается, около ста лет назад. В XIX веке, как можно судить по письмам и…

  • Отравоядное

    Beware of Germans bearing Gifts. (Английская народная мудрость) Немцы яд дают. Французы яд пьют. Славяне яд едят. Страшная вещь этимология. PS…